已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1...

（1）由方程ax2+bx-2x=0有等根，则△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-=1，得a，从而求得f（x）． （2）由f（x）=-（x-1）2+1≤1，知4n≤1，即n≤．由对称轴为x=1，知当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．所以有，最后看是否满足m＜n≤即可． 【解析】 （1）∵方程ax2+bx-2x=0有等根，∴△=（b-2）2=0，得b=2． 由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-=1，得a=-1，故f（x）=-x2+2x． （2）∵f（x）=-（x-1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤． 而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数． 若满足题设条件的m，n存在，则 即⇒又m＜n≤． ∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]． 由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．