设数列{an}，{bn}的各项均为正数，若对任意的正整数n，都有an，bn2，a...

（Ⅰ）利用已知条件可得数列{bn}与{an}的递推关系，代入2bn2=an+an+1整理，然后利用等差中项的证明数列{bn}为等差数列 （Ⅱ）结合（1）求出数列{bn}的公差d，进一步求得bn，然后利用递推公式an=bn-1．bn求出an，通过n的特殊值猜想2n与2an之间的大小关系，利用数学归纳法进行证明 【解析】 （Ⅰ）由题意，得2bn2=an+an+1，① an+12=bn2bn+12，②（1分） 因为an＞0，bn＞0，所以由式②得an+1=bnbn+1， 从而当n≥2时，an=bn-1bn， 代入式①得2bn2=bn-1bn+bnbn+1，（3分） 故当n≥2时，2bn=bn-1+bn+1（n≥2）， ∴数列bn是等差数列．（4分） （II）由及式①、②易得， 因此bn 的公差  ， 从而，（5分） 得， 所以当n≥2时，，③ 又a1=1也适合式③， ∴．（6分） 设P=2n，Q=2n-n（n+1）， 当n=1时，P=Q，当n=2，3，4时，P＜Q 当n=5时，P＞Q，当n=6时，P＞Q 由此猜想当n≥5时，P＞Q（8分） 以下用数学归纳法证明． （1）当N=5时，P＞Q显然成立，（9分） （2）假设当n=k（k≥5）时， P＞Q成立，即2n＞k（k+1）-k2+k成立， 则当n=k+1时，P=2K+1=2•2k＞2k2+2k =（k2+2k+1）+（k+1）+（k2-k-2）=（k+1）2+（k+1）+（k+1）（k-2） ∵k≥5，∴（k+1）（k-2）＞0即P=2k+1＞（k+1）2+（k+1）成立． 故当n=k+1时，P＞Q成立． 由（1）、（2）得，当n≥5时， P＞Q成立．（11分） 因此，当n=1时，2n=2an， 当n=2，3，4时，2n＜2an， 当n≥5时，2n＞2an．（12分）