已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）2+y2=1...

已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）²+y²=1的切线（P点不在y轴上）．以原点为顶点，且焦点在x轴上的抛物线C恰好过点P．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点（1，0）作直线l与抛物线C相交于M，N两点，问是否存在定点R，使 manfen5.com 满分网

为常数？若存在，求出点R的坐标及常数；若不存在，请说明理由．

（1）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离为半径1求得k，则PC的方程可得，与方程y=1联立求得点P的坐标，则抛物线的方程可得．（2）设直线l的方程代入抛物线方程并整理，设出M，N的坐标，根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，设R（x，y），进而表示出进而可推断出当x=y=0时上式是一个与m无关的常数．断定存在定点R（0，0），相应的常数是．【解析】（1）设直线PC的方程为：y=kx-3，由得，所以PC的方程为由得P点的坐标为（3，1）．可求得抛物线的方程为．（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程并整理得设M（x1，y1），N（x2，y2），则设R（x，y），则=（x1-x）（x2-x）+（y1-y）（y2-y） =（my1+1-x）（my2+1-x）+（y1-y）（y2-y） =m2y1y2+m（1-x）（y1+y2）+（1-x）2+y1y2-y（y1+y2）+y2 =．当x=y=0时上式是一个与m无关的常数．所以存在定点R（0，0），相应的常数是．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等