如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1，M为CC1的中点． （Ⅰ...

（Ⅰ）取A1B1的中点F，先利用△A1B1C1是正三角形，证得C1F⊥A1B1．⇒B1B⊥C1F．⇒ME⊥面BB1A1A；再利用在面BB1C1C中AB1⊥A1B， 就可得到AB1⊥平面BEM，进而证得BM⊥AB1； （Ⅱ）找N为AC的三等分点，利用△CE1M∽△B1E1B，⇒AB1∥NE1⇒AB1∥平面BMN． 【解析】 （Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连接A1B，AB1交于点E，连接EF，C1F． 因为△A1B1C1是正三角形， 所以C1F⊥A1B1． 又ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以B1B⊥面A1B1C1，所以B1B⊥C1F． 所以有C1F⊥面BB1A1A． ⇒ME⊥面BB1A1A⇒ME⊥AB1， 又在面BB1C1C中AB1⊥A1B， 所以AB1⊥平面BEM， 所以BM⊥AB1； （Ⅱ）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2． 连接B1C，B1C∩BM=E1， ∵△CE1M∽△B1E1B， ∴==， ∴==，∴AB1∥NE1 又∵E1N⊂面BMN，AB1⊄面BMN ∴AB1∥平面BMN