已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面A...

（I）欲证AC1⊥平面A1BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC1与平面A1BC内两相交直线垂直，BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，满足定理条件； （II）取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，从而CH就是CC1到平面A1AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可； （III）过H作HG⊥A1B于G，连CG，根据二面角平面角的定义知∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角，在Rt△CGH中求出此角的正弦值即可． （I）证明：因为A1D⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC， 又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C， 得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1 所以AC1⊥平面A1BC；（4分） （II）【解析】 因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形， 故AA1=AC=2，又D为AC中点，知∠A1AC=60°． 取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF， 过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB， 在Rt△BCF中，，故， 即CC1到平面A1AB的距离为（9分） （III）【解析】 过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B， 从而∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角， 在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以， 在Rt△CGH中，， 故二面角A-A1B-C的大小为．（14分）