设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）． （Ⅰ）若f（1）=g...

（1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得到a与b的值，因为F（x）=f（x）-g（x）求出导函数讨论在区间上的增减性得到函数的极值即可； （2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x-1， 下面验证都成立即可．由x2-2x+1≥0，得x2≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．设h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．故存在； （3）因为G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x1，x2，把两个零点代入到G（x）中，得一式子，然后求出导函数讨论两个零点的大小得到G'（x）值的符号为正． 【解析】 （1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得，解得a=b=1则F（x）=f（x）-g（x）=x2-lnx-x，F′（x）=2x--1 x=1或x=，当x＜-或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；当＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数． 得到F（x）极小值=F（1）=0； （2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x-1， 下面验证都成立即可．由x2-2x+1≥0，得x2≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．设h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=-1． （3）G′（x）的符号为正，理由为：因为G（x）=x2+2-alnx-bx有两个零点x1，x2，则有，两式相减得x22-x12-a（lnx2-lnx1）-b（x2-x1）=0，即， 于是G′（x）=2x--b=（x1+x2-b）-=-= = ①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且u′（t）==＞0，则u（t）=lnt-在（1，+∞）上为增函数， 而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-＞0，又因为a＞0，x2-x1＞0 所以G′（x）＞0； ②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x）＞0 综上所述：G′（x）的符号为正．