在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A． （1...

（1）利用正弦定理化简所求的式子，把∠C=2∠A代入，并利用二倍角的正弦函数公式化简得到结果为2cosA，由三角形为锐角三角形，且∠C=2∠A，可求出A的取值范围，根据余弦函数的图象与性质得出余弦函数cosA的值域，进而确定出所求式子的范围； （2）由第一问得出的=2cosA及cosA的值，得出的值，与a+c=20联立组成方程组，求出方程组的解集得到a与c的值，最后由a，c及cosA的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值． 【解析】 （1）根据正弦定理有，（2分） 在△ABC为锐角三角形中，可得三个角都为锐角， 由C=2A，得到C＞A， 可得C＞60°，即2A＞60°，解得：A＞30°， 同时C＜90°，即2A＜90°，解得：A＜45°，（4分） ∴30°＜A＜45°， ∴cosA∈（，），即2cosA∈（，）， 则；（6分） （2）由（1），又， 得，与a+c=20联立得： ，（8分） 再由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA， 即64=b2+144-18b， 解得b=8或b=10，（10分） 若a=8，可得a=b，三角形为等腰三角形， 又∠C=2∠A， 可得∠C为直角， 即三角形为等腰直角三角形，即∠A=45°， 可得cosA=≠，故b=8要舍去． 则b=10．