已知已知函数，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．（Ⅰ...

已知已知函数

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列 manfen5.com 满分网

是等差数列；
（Ⅱ）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较2S_n与1的大小．

本题考查了函数和数列的关系、等差数列的证明、数列的求和等知识点．（Ⅰ）根据所给函数及数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）即可获得{an}的递推关系，然后通过推出得到证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上易得anan+1=，由此不难想到“裂项法”求和．【解析】（Ⅰ）由已知得，， ∴，即． ∴数列是首项，公差d=2的等差数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∴，（8分） ∴，（10分） ∴Sn=a1a2+a2a3++anan+1= ==．（14分） ∴（n∈N*），∴2Sn＜1．（16分）

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考点分析：

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．
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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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