如图，M、N、P分别是正方体的棱AB、BC、DD1上的点． （1）若，求证：无论...

（1））证法一：连AC、BD，则BD⊥AC，通过，证明MN⊥平面BDD1．总有MN⊥BP． 证法二：连接AC、BD，则AC⊥BD．利用，证明MN⊥PB．可得总有BP⊥MN； （2）解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1，说明∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角，利用△MO1B求解即可． 解法二：设BD与MN相交于F，连接B1F，设二面角B-B1N-M的平面角为α，则cosα=，求解即可． 【解析】 （1）证法一：连AC、BD，则BD⊥AC， ∵，∴MN∥AC，∴BD⊥MN． 又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN， ∴MN⊥平面BDD1． ∵无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1， 故总有MN⊥BP． 证法二：连接AC、BD，则AC⊥BD． ∵，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD， 由三垂线定理得：MN⊥PB． （2）解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1， ∵PB⊥平面B1MN，∴PB⊥B1N． 又∵PG⊥平面B1BCC1，∴BG⊥B1N，∴△BB1N≌△BCG，∴BN=CG，NC=GC1， ∴BN：NC=DP：PD1=2：1． 同理BM：MA=DP：PD1=2：1． 设AB=3a，则BN=2a，∴， =， 连MO1，∵AB⊥平面B1BCC1，∴MO1⊥B1N， ∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角， ， ∴． 解法二：设BD与MN相交于F，连接B1F， ∵PB⊥平面MNB1，∴PB⊥B1F，PB⊥MN， ∴在对角面BB1D1D内，△PBD∽△BB1F， 设BB1=DD1=3，则PD=2，BD=3，∴，即，故BF=． ∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN∥AC，MN=2BF=2，BN=2， ． 设二面角B-B1N-M的平面角为α，则cosα====， ．