过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．...

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标；
（3）当 manfen5.com 满分网

最小时，求

的值．

（1）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）．由得x2-kx+（ka+1）=0，由此可知k1k2=-4．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意知y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，由此可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．（3）要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离．由引入手能够推导出 •的值．【解析】（1）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）由得x2-kx+（ka+1）=0∴△=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0 则k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4 （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y1=2x1（x-x1）则-y1=2x1（a-x1）=2x1a-2x12=2x1a-2（y1-1）∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2 则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）（3）要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离当且仅当即时取等号设P（x1，y1），Q（x2，y2）由得x2-2ax-1=0，则x1+x2=2a，x1x2=-1， =（x1-a）（x2-a）+y1y2=（x1-a）（x2-a）+（2ax1+2）（2ax2+2） =（1+4a2）x1x2+3a（x1+x2）+a2+4=-（1+4a2）+3a•2a+a2+4=3a2+3=

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考点分析：

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