设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+...

本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答时： （I）首先讨论n=1和n≥2时两种情况，结合通项与前n项和之间的关系通过作差、变形化简即可获得问题的解答； （II）利用（1）的结论写出相邻的一项对应的关系式，注意保证n≥2．用作差法可分析知数列an为等差数列，进而即可获得数列的通项公式； （III）首先假设存在λ使得满足题意，然后计算化简bn+1-bn，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答． 【解析】 （I）证明：当n=1时，a13=a12，∵a1＞0，∴a1=1． 当n≥2时，a13+a23+…+an3=Sn2， a13+a23+…+an-13=Sn-12， 两式相减知：an3=Sn2-Sn-12=an（2a1+2a2+…+2an-1+an）， ∵an＞0 ∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+2an-an ∴an2=2Sn-an 综上可知：∴an2=2Sn-an，n∈N*． （II）∵an2=2Sn-an ∴当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1， ∴an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1， ∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0 又∵an+an-1＞0，∴an-an-1-1=0 ∴an-an-1=1 所以数列an为首项为1，公差为1的等差数列． ∴数列{an}的通项公式为：an=n，n∈N*． （III）假设存在λ使得对任意的n∈N*，有bn+1＞bn． ∵an=n，n∈N* ∴bn=3n+（-1）n-1•λ， ∴bn+1-bn=[3n+1+（-1）n•λ•2n+1]-[3n+（-1）n-1•λ•2n] ∴bn+1-bn=2•3n-3λ（-1）n-1•2n＞0 ∴对任意的n∈N*恒成立． 当n=2k-1，k∈N*时，对任意的k∈N*恒成立． ∴λ＜1 当n=2k，k∈N*时，对任意的k∈N*恒成立． ∴λ＞- ∴-＜λ＜1，又∵λ≠0且λ∈Z ∴λ=-1． ∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*有bn+1＞bn成立．