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已知函数f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ,g(x)=f'(x),且...

已知函数f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ,g(x)=f'(x),且对任意的实数t均有g(1+e-|t|)≥0,g(3+sint)≤0.
(I)求g(2);
(II)求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)记函数h(x)=f(x)-manfen5.com 满分网-(b+24)x(a,b∈R),若y=h(x)在区间[-1,2]上是单调减函数,求a+b的最小值.
(I)由题得,g(x)=3x2-18xcosα+48cosβ,又1+e-|t|∈(1,2],3+sint∈[2,4],从而g(x)≥0在x∈(1,2]恒成立,g(x)≤0在x∈[2,4]恒成立,最后得出g(2)的值即可; (II)先求出g(x)=0的另一根的取值范围,得出2+x=6cosα,最后得到得的值,代入函数解析式即可; (III)由题意得出关于a,b的不等关系:,作出不等式组表示的平面区域,利用线性规划的方法解决即可. 【解析】 (I)由题得,g(x)=3x2-18xcosα+48cosβ,又1+e-|t|∈(1,2],3+sint∈[2,4], 知g(x)≥0在x∈(1,2]恒成立,g(x)≤0在x∈[2,4]恒成立, 所以g(2)=0…(5分) (II)设g(x)=0的另一根为x,由条件得x≥4,而2+x=6cosα, 所以6cosα≥6,又6cosα≤6,所以6cosα=6,得, 即f(x)=x3-9x2+24x.                    (Ⅲ)∵y=h(x)在区间[-1,2]上是单调减函数,∴h′(x)=x2+2ax-b≤0在区间[-1,2]上恒成立.                     根据二次函数图象可知h′(-1)≤0且h′(2)≤0, 即:也即] 作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线z=a+b经过交点P(-,2)时,z=a+b取得最小值, ∴z=a+b取得最小值为…(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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