椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴...

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 manfen5.com 满分网

，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 manfen5.com 满分网

，求直线PQ的方程；
（3）设 manfen5.com 满分网

（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明 manfen5.com 满分网

．

（1）由题意，可设椭圆的方程为，列出关于a，b的方程组，解出a，b值，从而求得椭圆的方程及离心率；（2）由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直条件即可求得k值，从而解决问题．（2）先得出向量的坐标．由已知得方程组解得x2，最后经计算得出即可．（1）【解析】由题意，可设椭圆的方程为．由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率．（2）【解析】由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．由方程组得（3k2+1）x2-18k2x+27k2-6=0 依题意△=12（2-3k2）＞0，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，① ．② 由直线PQ的方程得y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）．于是y1y2=k2（x1-3）（x2-3）=k2[x1x2-3（x1+x2）+9]．③ ∵，∴x1x2+y1y2=0．④ 由①②③④得5k2=1，从而．所以直线PQ的方程为或（3）证明：．由已知得方程组注意λ＞1，解得因F（2，0），M（x1，-y1），故=．而，所以．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等