如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，...

（Ⅰ）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可． （Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可． （Ⅲ）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值． 只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果． 这三个问题可以利用空间直角坐标系，解答（Ⅰ）求数量积即可． （Ⅱ）设才点的坐标，向量共线即可解答． （Ⅲ）利用向量数量积求解法向量，然后转化求出PC与底面ABCD所成角的正切值． 证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E， ∴PA⊥BD，AC⊥BD， ∴BD⊥平面PAC， ∵FG⊂平面PAC， ∴BD⊥FG（5分） 解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=AC时，FG∥平面PBD，（7分） 理由如下： 连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE， 而FGË平面PBD，PE⊂平面PBD， 故FG∥平面PBD．（9分） 解（Ⅲ）：作BH^PC于H，连接DH， ∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形， ∴PB=PD， 又∵BC=DC，PC=PC， ∴△PCB≌△PCD， ∴DH⊥PC，且DH=BH， ∴ÐBHD就是二面角B-PC-D的平面角，（11分） 即ÐBHD=， ∵PA⊥面ABCD，∴ÐPCA就是PC与底面ABCD所成的角（12分） 连接EH，则EH⊥BD，ÐBHE=，EH⊥PC， ∴tanÐBHE=，而BE=EC， ∴，∴sinÐPCA=，∴tanÐPCA=， ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是（14分） 或用向量方法： 【解析】 以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），E（），F（），G（m，m，0）（0＜m＜）（2分） （Ⅰ）=（-1，1，0），=（），×=-m++m-+0=0， ∴BD⊥FG（5分） （Ⅱ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而=（），由=l可得， 解得l=1，m=，（7分） ∴G（，，0），∴， 故当AG=AC时，FG∥平面PBD（9分） （Ⅲ）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z）， 则，而，， ∴，取z=1，得=（a，0，1），同理可得平面PDC的一个法向量为=（0，a，1）， 设，所成的角为q，则|cosq|=|cos|=，即=，∴，∴a=1（12分） ∵PA⊥面ABCD，∴ÐPCA就是PC与底面ABCD所成的角， ∴tanÐPCA=（14分）