设函数f（x）=x2-2x+alnx． （1）若函数f（x）是定义域上的单调函数...

（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即最小值≥0恒成立． （2）据（1）根据参数的范围，对函数单调性分类判断，据极值的定义在各类中求出函数的极值． 【解析】 （1）， 若函数f（x）是定义域上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2x2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立， 令g（x）=2x2-2x+a，则函数g（x）图象的对称轴方程是， 故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要． （2）有（1）知当时，f′（x）=0的点是导数不变号的点， 故时，函数无极值点； 当时，f'（x）=0的根是， 若a≤0，，此时x1≤0，x2＞0，且在（0，x2）上f′（x）＜0， 在（x2，+∞）上f'（x）＞0，故函数f（x）有唯一的极小值点； 当时，， 此时x1＞0，x2＞0，f′（x）在（0，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0， 此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点． 综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值点； 时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点； 时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．