已知函数． （Ⅰ）求证：存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称...

（Ⅰ）根据题中已知条件可知函数f（x）上的点P和点Q关于点M对称，可根据f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，进而可以证明； （Ⅱ）根据题中已知条件先求出Sn的表达式，进而将n=2011代入即可求出S2011的值； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中求得的Sn的表达式先求出lnSn+2-lnSn+1的表达式，即可证明． 【解析】 （Ⅰ）由题意可知：函数定义域为（0，1）． 设点M的坐标为（a，b）， 则由， 对于x∈（0，1）恒成立， 于是， 解得． 所以存在定点，使得函数f（x）的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1， ∵…① ∴…② ①+②，得2Sn=n-1， ∴， 故S2011=1005． （Ⅲ）当n∈N*时，由（Ⅱ）知， 于是等价于．…（10分） 令g（x）=x3-x2+ln（1+x），则， ∴当x∈[0，+∞）时，g'（x）＞0，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=0． 于是，当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＞g（0）=0，即x3-x2+ln（1+x）＞0恒成立．…（12分） 故当x∈（0，+∞）时，有ln（1+x）＞x2-x3成立，取， 则有成立．…（14分）