已知函数． （I）求f（x）的单调递增 区间； （II）a为何值时，函数f（x）...

（I）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据△的符号，即可求得结论； （II）函数f（x）在区间上有零点等价于方程f（x）=0在上有实根，分离参数得，，转化为求函数的最值问题，即可求得结论． 【解析】 （I）f′（x）= 令f′（x）＞0⇒ax2-2x+1＞0 ①若a=0，则，f（x）的递增区间是； ②若a＜0，则△=4-4a＞0 方程ax2-2x+1=0的两根，， 当时，＞0 ∴f（x）的递增区间是 ③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1时， 方程ax2-2x+1=0的两根，， 此时f（x）的递增区间为和 ④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1时f'（x）≥0 此时的递增区间为（0，+∞）． （II）问题等价于方程f（x）=0在上有实根， 而f（x）=0⇔， 令， 再令ϕ（x）=x-xlnx-1，则ϕ'（x）=-lnx 当0＜x＜1时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）↗，当x＞1时，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）↘ ∴当x=1时，ϕ（x）取得唯一的极大值也是ϕ（x）的最大值（ϕ（x））max=ϕ（1）=0 ∴当x∈（0，+∞）时，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上单调递减 ∴当时， 故当时，函数f（x）在上有零点．