已知定义在（0，+∞）上的两个函数处取得极值．（1）求a的值及函数g（x）的单...

已知定义在（0，+∞）上的两个函数 manfen5.com 满分网

处取得极值．
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；
（2）求证：当 manfen5.com 满分网

成立．
（3）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C₁，求C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数，并说明理由．

（1）先根据f'（1）=0求出a的值，然后求出g′（x），最后解g′（x）＞0与g′（x）＜0，即可求出函数g（x）的单调区间；（2）先判定2-lnx的符号，欲证，只需证明2x-xlnx＜2+lnx，即只需证，记，然后利用导数研究函数的单调性求出函数F（x）的最小值即可证得结论；（3）由题意知，问题转化为在（0，+∞）上解的个数，然后利用导数研究函数的单调性，从而可判定解的个数．【解析】（1）∵f′（x）=2x-，∴f'（1）=2-a=0，∴a=2．…（2分） ∴．由，得x＞1；由，得0＜x＜1． ∴g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．…（4分）（2）∵1＜x＜e2， ∴0＜lnx＜2， ∴2-lnx＞0．欲证，只需证明2x-xlnx＜2+lnx，即只需证．记，则．当x＞1时，F'（x）＞0， ∴F（x）在（1，+∞）上是增函数． ∴F（x）＞F（1）=0， ∴F（x）＞0，即． ∴．故结论成立． …（8分）（3）由题意知．问题转化为在（0，+∞）上解的个数．…（10分） =．由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1． ∴G（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．又G（1）=-4＜0，所以在（0，+∞）上有2个解．即C1与f（x）对应曲线C2的交点个数是2．…（14分）

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考点分析：

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若定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）-1为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

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设数列{a_n}（n∈N）满足a=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）当n∈N⁺时，令 manfen5.com 满分网