函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）...

（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，确定a的值，从而可得切线方程，即可求得两平行切线间的距离； （Ⅱ）问题等价于在x∈[0，+∞）有解，令，则m＜hmax（x），由此即可求得实数m的取值范围； （Ⅲ）证法一：函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），求出其最小值，即可得到结论； 证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），构造函数，x∈（0，+∞），F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），确定其单调性，确定其范围，即可求得结论． （Ⅰ）【解析】 f'（x）=aex，， y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0）， ∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 ∴f'（0）=g'（a），即 又∵a＞0，∴a=1． ∴f（x）=ex，g（x）=lnx， ∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0 ∴两平行切线间的距离为． （Ⅱ）【解析】 由得，故在x∈[0，+∞）有解， 令，则m＜hmax（x）． 当x=0时，m＜0； 当x＞0时，∵， ∵x＞0，∴，∴ 故 即在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0 即实数m的取值范围为（-∞，0）． （Ⅲ）证法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞） ∴， 设x=t为的解，则当x∈（0，t），F'（x）＜0； 当x∈（t，+∞），F'（x）＞0，∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增 ∴ ∵f'（1）=e-1＞0，，∴ 故 即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞） 令，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞） ∵，， ∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增 ∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1， ∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2 即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．