已知函数，a，b为实数，x∈R，a∈R． （1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间...

（1）求出f（x）的导数，令f′（x）=0，解出极值点和单调区间，并把端点值-1，1代入进行比较，求出最值，从而求a、b的值； （2）分两种情况：①当切点为P（2，1）时，②当切点P不是P（2，1）时，根据函数f（x）的解析式设出切点的坐标，根据设出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，进而得到切点坐标，最后根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可． （3）先求出f′（x）=0时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数． 【解析】 （1）由已知得，f'（x）=3x2-3ax，…（1分） 由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．…（2分） ∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增； 当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减． ∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．…（4分） 又，，∴f（-1）＜f（1）． 由题意得f（-1）=-2，即，得．故，b=1为所求．…（6分） （2）：由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f'（x）=3x2-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上． ①当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4， ∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0． …（8分） ②当切点P不是P（2，1）时，设切点为Q（x，y）（x≠2），切线l的斜率， ∴l的方程为 ．…（10分） 又点P（2，1）在l上，∴， ∴，∴， ∴，即2x（x-2）=0，∴x=0．∴切线l的方程为y=1． 故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1…（12分） （ 或者：由①知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．） （3）：由题意F（x）=（x2+ax+a+1）•ex， 所以F′（x）=[x2+（2+a）x+2a+1]•ex…（13分） 令x2+（2+a）x+2a+1=0． 当△=a（a-4）＞0，即a＜0或a＞4时，方程x2+（2+a）x+2a+1=0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，于是F（x）=ex（x-x1）（x-x2）从而有下表： x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） F′（x） + + F（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 即此时有两个极值点．…（16分） ②当△=a（a-4）=0，即a=0或a=4时，方程x2+（2+a）x+2a+1=0有两个相同的实根x1=x2，于是，此时无极值．…（16分） ③当△＜0，即0＜a＜4时，恒有F′（x）＞0，此时无极值．…（17分） 因此，当a＜0或a＞4时，F（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，F（x）无极值．…（18分）