在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向...

在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足．
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程．
（2）过点Q（一2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（ manfen5.com 满分网

，0），且以言

为方向向量的直线上一动点，满足 manfen5.com 满分网

（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．

（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，然后设出P，P'坐标代入方程，化简即可求出轨迹C的方程．（2）设出直线l的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解析】（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点， P（x1，y1）是方程x2+y2=4的圆上的任意一点，则p'（0，y1）．则有：，即，代入x2+y2=4得，轨迹C的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点．所以设直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，N点所在直线方程为．由得（4+k2）x2+4k2x+4k2-4=0．由△=16k4-4（4+k2）（4k2-4）≥0，∴．即 ∵，即， ∴四边形OANB为平行四边形假设存在矩形OANB，则，即x1x2+y1y2=0，即（k2+1）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0，于是有得设N（x，y），由得，即点N在直线x=-上．∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等