在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心...

本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决求线面角证线线垂直，求点到面 距离． （Ⅰ）由题设条件，连接AC，即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为∠PAC，求出线的方向向量与面的法向量，用公式求出线面角的正弦． （Ⅱ）由图形及题设条件可以证得AP⊥面D1OH，由线面垂直证得母线线垂直，求出两线． （Ⅲ）用向量法求点到面的距离，求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可． 【解析】 建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0）， D（0，0，4），B（4，4，0） （1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，∵CC1=4CP∴CP=1，由勾股定理知BP=， ∴tan∠APB=== ∴ （2）证明：由已知OH⊥面APD1，∴OH⊥AP， 连接B1D1，由于O是上底面的中心，故O∈B1D1， 由正体的性质知B1D1⊥面AC1， 又AP⊂面AC1， ∴B1D1⊥AP 又B1D1∩OH=0 ∴AP⊥面D1OH， ∴D1H⊥AP （3）如图=（0，4，0），=（-4，0，4）=（-4，4，1） 令面ABD1的法向量为=（x，y，z） 故有，即 令x=1，则z=1，故=（1，0，1） 故点P到面面ABD1的距离d== 点P到面面ABD1的距离为