已知函数f（x）=[x2-（a+2）x-2a2+a+2]ex． （1）求函数f（...

（1）求导函数，令由f'（x）≥0，对a分类讨论，即可求得函数f（x）的单调增区间； （2）根据x=2是f（x）的极值点，求得函数的解析式，进而可得函数h（x）的解析式，求得A（0，m）（m≠0）不在曲线上，设切点坐标为（a，h（a）），可得2a3-3a2+m=0，于是问题转化为关于a的方程2a3-3a2+m=0有三个不等实根，构造函数，可求m的取值范围； （3）确定函数f（x）、g（x）的值域，要满足题意，只需a2+4-（-2a2+a+2）＜12且a＞1，由此可求实数a的取值范围． 【解析】 （1）∵f（x）=[x2-（a+2）x-2a2+a+2]ex ∴f'（x）=（x2-ax-2a2）ex 由f'（x）≥0得：（x+a）（x-2a）≥0 ①当a＞0时，x≤-a或x≥2a，∴f（x）的增区间为（-∞，-a]，[2a，+∞） ②当a=0时，x∈R，∴f（x）的增区间为（-∞，+∞） ③当a＜0时，x≤2a或x≥-a，∴f（x）的增区间为（-∞，-a]，[-a，+∞） （2）∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=0即a2+a-2=0，∴a=-2或a=1 ∵a＞0，∴a=1，∴f（x）=（x2-3x+1）ex，∴h（x）=xe-xf（x）=x3-3x2+x． ∵A（0，m）（m≠0），∴A不在曲线上 设切点坐标为（a，h（a）），则h′（a）=，即2a3-3a2+m=0 于是问题转化为关于a的方程2a3-3a2+m=0有三个不等实根 令φ（a）=2a3-3a2+m，则φ′（a）=6a（a-1） 由φ′（a）≥0得a≤0或a≥1 ∴φ（a）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 ∴当φ（0）=m＞0，φ（1）=m-1＜0，即0＜m＜1时，方程2a3-3a2+m=0有三个不等实根 ∴m的取值范围为（0，1）； （3）当a＞1时，由（1）可知，函数在[0，1]上单调递减，∴x1∈[0，1]时，函数f（x）的值域为[（1-2a2）e，-2a2+a+2] ∵函数g（x）=（a2+4）ex，在[0，1]上单调递增，∴x2∈[0，1]时，函数g（x）的值域为[a2+4，（a2+4）e] ∵a2+4＞-2a2+a+2 ∴要满足题意，只需a2+4-（-2a2+a+2）＜12且a＞1 ∴1＜a＜2 ∴实数a的取值范围为（1，2）．