如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，E是棱CC1上动点，F...

（Ⅰ）欲证CF⊥平面ABB1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CF垂直平面ABB1内两相交直线垂直，而CF⊥BB1，CF⊥AB，BB1∩AB=B，满足定理条件； （Ⅱ）取AB1的中点G，连接EG，FG，欲证CF∥平面AEB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CF与平面AEB1内一直线平行即可，而CF∥EG，CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，满足定理条件．EB1-B （III）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设出E点坐标，分别求出平面AEB1与EB1B的法向量，根据二面角A-EB1-B的大小是45°，代入向量夹角公式，构造方程即可得到答案． 证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC． 又∵CF⊂平面ABC， ∴CF⊥BB1． ∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点， ∴CF⊥AB． 又∵BB1∩AB=B， ∴CF⊥平面ABB1． （Ⅱ）取AB1的中点G，连接EG，FG． ∵F、G分别是棱AB、AB1中点， ∴FG∥BB1，BB1． 又∵EC∥BB1，， ∴FG∥EC，FG=EC． ∴四边形FGEC是平行四边形， ∴CF∥EG． 又∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1， ∴CF∥平面AEB1．（9分） （3）【解析】 以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz 则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4）（10分） 设E（0，0，m），平面AEB1的法向量=（x，y，z） 则=（-2，2，4），=（-2，0，m） 且⊥，⊥， 于是，即 取z=2，则=（m，m-4，2）（12分） ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱， ∴BB1⊥平面ABC， 又∵AC⊂平面ABC ∴AC⊥BB1 ∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BC ∴AC⊥平面ECBB1 ∴=（2，0，0）是平面EBB1的法向量， 二面角A-EB1-B的大小是45°， 则cos45°===（13分） 解得m= ∴在棱CC1上存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°． 此时CE=   （14分）