已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数...

已知函数

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（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，构造函数φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得，0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0得，a＜x＜1 故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（4分）（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（5分）（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）求导函数可得：φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0 ∴φ（x）的最小值为，由得，故当时f（x）≤x恒成立，…（9分）当a+1=0时，φ（x）=-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）综上所述当时，使f（x）≤x恒成立．…（14分）

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考点分析：

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