设函数f（x）=（x-1）2+blnx，其中b为常数． （1）当b＞时，判断函数...

（1）先确定f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，进而导函数大于0，可得函数在定义域内单调递增； （2）令f（x）的导函数等于0，求出此时符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值； （3）确定f（x）在（0，）为减函数，根据当n≥3时，0＜1＜1+≤＜，可得当n≥3时，恒有ln（n+1）-lnn＞；令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），则x∈[1，+∞）时，h（x）为增函数，由此可知结论成立． （1）【解析】 由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= ∴当b＞时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增； （2）【解析】 当b≤0时，f′（x）=0有两个不同解，， ∵≤0，，∴舍去x1， 此时 f'（x），f（x）随x在在定义域上的变化情况如下表： x （0，x1） x2 （x2，+∞） f′（x） - + f（x） 减 极小值 增 由此表可知：b≤0时，f（x）有惟一极小值点， （3）证明：由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）2-lnx，此时f（x）有惟一极小值点：x= 且x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，）为减函数． ∵当n≥3时，0＜1＜1+≤＜ ∴恒有f（1）＞f（1+），即恒有0＞-ln（1+）=-[ln（n+1）-lnn]． ∴当n≥3时，恒有ln（n+1）-lnn＞ 令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）则h′（x）= ∴x＞1时，h′（x）＞0，又h（x）在x=1处连续， ∴x∈[1，+∞）时，h（x）为增函数 ∵n≥3时，1＜1+，∴h（1+）＞h（1），即 ∴ln（n+1）-lnn=ln（1+）＜ 综上，对任意不小于3的正整数n，不等式＜ln（n+1）-lnn＜都成立．