已知a＞0，设函数，．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；（Ⅱ...

已知a＞0，设函数

，

．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．

（I）先对函数h（x）求导可得，（x＞0），通过导数可判断函数h（x）的单调区间，从而可求函数的极值，最值（II）由（I）可知，当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0，则可得f（x）≤g（x），若使得f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立，根据导数知识可证，在x∈R时恒成立；即证【解析】（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2x+2a=alnx-（x＞0）（2分）对函数h（x）求导可得， ∵x＞0 ∴当时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）上单调递增，当x时，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）上单调递减 ∴x=是函数h（x）唯一的极大值即是函数的最大值h（）=（4分）（II）当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0 即f（x）≤g（x），当且仅当x=时取等号（6分） ∴函数f（x，g（x）的图象在x=处有且仅有一个公共点（） ∵，函数f（x）的图象在x=处的切线斜率k=- ，函数g（x）在x=处的切线斜率k=- ∴f（x）与g（x）的图象在x=处有公共的切线方程为y=-（8分）设， x F'（x） + - F（x） ↑ 极大值 ↓ ∴当时，函数F（x）取得最大值0 ∴恒成立；…（10分） ∵， ∴在x∈R时恒成立； ∴当a=e时，，．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知椭圆C：

（a＞b＞0）经过点（ manfen5.com 满分网

，

），一个焦点是F（0，- manfen5.com 满分网

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

查看答案

如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是 manfen5.com 满分网