如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1． （Ⅰ）...

本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力． （1）若要证明AB⊥BC，可以先证明AB⊥平面BC1，由线面垂直的性质得到线线垂直． （2）要判断直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答．也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答． 【解析】 （Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D， 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得 AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC， 所以AD⊥BC． 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC． 又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC． （Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ， 于是在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，， 由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ， 解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1=a，AC=b， AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），， 于是，． 设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z）， 则由．得． 可取n=（0，-a，c），于是与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．，， 所以， 于是由c＜b，得， 即sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，