设函数f（x）=x3-ax2+3x+b，a，b是实常数，其图象在点（1，f（1）...

（1）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值； （2）对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等价于b＞-x3+6x2-9x+3在[-1，4]上恒成立，利用导数法求出右边函数的最大值，即可求b的取值范围． 【解析】 （1）求导函数可得f′（x）=3x2-2ax+3，∴f′（1）=6-2a ∵图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴 ∴f′（1）=0 ∴6-2a=0，∴a=3； （2）对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等价于b＞-x3+6x2-9x+3在[-1，4]上恒成立； 令g（x）=-x3+6x2-9x+3，x∈[-1，4]，只要b＞gmax（x） ∵g′（x）=-3x2+12x-9 令g′（x）＞0，可得1＜x＜3，令g′（x）＜0，可得x＜1，或x＞3 ∴函数在（1，3）上单调增，在（-∞，1），（3，+∞）上单调减 ∴x=3时，函数取得极大值为g（3）=3 ∵g（-1）=19，g（4）=-1 ∴g（x）在[-1，4]上的最大值为19 ∴b＞19