已知函数． （Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围； （...

（Ⅰ）求出函数的极值，在探讨函数在区间（其中a＞0）上存在极值，寻找关于a的不等式，求出 实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，把k分离出来，转化为求函数最值． （Ⅲ）借助于（Ⅱ）的结论证明不等式． 【解析】 （Ⅰ）因为，x＞0，则， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0． 所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减， 所以函数f（x）在x=1处取得极大值． 因为函数f（x）在区间（其中a＞0）上存在极值， 所以，解得． （Ⅱ）不等式， 即为，记， 所以， 令h（x）=x-lnx，则，∵x≥1，∴h′（x）≥0． ∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0， 从而g′（x）＞0 故g（x）在[1，+∞）上也单调递增， ∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2 （3）由（2）知：恒成立， 即， 令x=n（n+1），则， 所以， ，， ． 叠加得：ln[1×22×32× = 则1×22×32×n2×（n+1）＞en-2， 所以[（n+1）！]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）