在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处...

根据题意设出点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值． 【解析】 根据题意设P的坐标为（t，-t3+1），且0＜t＜1， 求导得：y′=-3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2， 所以切线方程为：y-（-t3+1）=-3t2（x-t）， 令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=， 所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=， 设y=2t2+=2t2++≥3， 当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号， 把t=代入得：Smin=． 故答案为：