已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n...

（1）在等式中，分别令m=1，m=2，并相减，得，在等式中，令n=1，m=2，得，由此能够求出求数列{an}的通项公式及前n项和Sn． （2）记-，（*）n=1时，无正整数k满足等式（*）n≥2时，等式（*）即为（n2+3n+1）2-3（n-10）=k2，由此进行分类讨论，能求出满足的所有正整数k，n． 【解析】 （1）在等式中， 分别令m=1，m=2，得 ，① ，② ②-①，得， 在等式中， 令n=1，m=2，得 ， 由题设知，S2=11，S3=19， 故S4=29， 所以an+2=2n+6，（n∈N*）， 即an=2n+2，（n≥3，n∈N*）， 又a2=6也适合上式， 故，即． （2）记-，（*） n=1时，无正整数k满足等式（*） n≥2时，等式（*）即为（n2+3n+1）2-3（n-10）=k2， ①当n=10时，k=131． ②当n＞10时，则k＜n2+3n+1， ∵k2-（n2+3n）2=2n2+3n+31＞0， ∴k＞n2+3n， 从而n2+3n＜k＜n2+3n+1， ∵n，k∈N*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）． ③当n＜10时，则k＞n2+3n+1， ∵k∈N*，∴k≥n2+3n+2， 从而（n2+3n+1）2-3（n-10）≥（n2+3n+2）2． 即2n2+9n-27≤0， ∵n∈N*，∴n=1或2． n=1时，k2=52，无正整数解； n=2时，k2=145，无正整数解． 综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．