对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．（I）若{...

对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值．

（1）根据题意写出符合题意的式子．（2）依题意得{an}是公比数为2的等比数列，计算出数列{an}的前n项和Sn （3）根据题意计算出数列{bn}的通项公式，计算出数列{bn}前n项的积为Tn，当数列{bn}前n项的积最大时n的值．【解析】（Ⅰ）如an=n2．（答案不惟一，结果应为an=An2+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）（Ⅱ）依题意an+1-an=2n，n=1，2，3，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+2n-3++2=2n．（5分）从面{an}是公比数为2的等比数列，所以（7分）（Ⅲ）由anbnbn+1=-21•2n及an-1bn-1bn=-21•2n，两式相除得，所以数列{b2n-1}，{b2n}分别是公比为的等比数列由b4=-7得b2=-14．令n=1，由a1b1b2=-21•2n得b1=3•26．所以数列{bn}的通项为（10分） ②记数列{bn}前n项的积为Tn．令，即所以当n是奇数时，|b1b2|＞1，|b3b4|＞1，，|b11b12|＞1，|b13b14|＜1，|b15b16|＜1，从而|T2|＜|T4|＜|T12|，|T12|＞|T14|＞．当n是偶数时，|b2b3|＞1，|b4b5|＞1，，|b12b13|＞1，|b14b15|＜1，|b16b17|＜1，从而|T1|＜|T3|＜|T13|，|T13|＞|T15|．注意到T12＞0，T13＞0，且T13=b13T12=3T12＞T12，所以当数列{bn}前n项的积Tn最大时n=13．（14分）

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考点分析：

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已知椭圆

和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： manfen5.com 满分网

为定值．

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如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两个城镇A、B，它们与MN的距离分别是akm与8km（a＞8），A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：
方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；
方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并在K点修一个公共立交出入口；
方案③：从A修一条普通公路到B，再从B修一条普通公路到高速公路，也只修一个立交出入口．请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．