已知函数f（x）=ex-kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间； ...

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞ manfen5.com 满分网

（n∈N⁺）．

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0 （2）f（|x|）是偶函数，只需研究f（x）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f（x）min＞0 （3）观察结论，要证F（1）F（2）…F（n）＞，即证[F（1）F（2）…F（n）]2＞（en+1+2）n，变形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）]…[F（n）F（1）]＞（en+1+2）n，可证F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n-1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．问题得以解决．【解析】（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex-ex，所以f'（x）=ex-e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=ex-k=0得x=lnk． ①当k∈（0，1]时，f'（x）=ex-k＞1-k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意． ②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，lnk） lnk （lnk，+∞） f′（x） - + f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=ex+e-x，∴F（x1）F（x2）=， ∴F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n-1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）][F（n）F（1）]＞（en+1+2）n 故，n∈N*．

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考点分析：

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