已知函数f（x）=x-alnx，． （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值； （Ⅱ...

（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值； （Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间； （Ⅲ）先把f（x）＜g（x）成立转化为h（x）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分） 当a=1时，f（x）=x-lnx，，（2分） x （0，1） 1 （1，+∞） f'（x） - + f（x） 极小 （3分） 所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分） （Ⅱ）， （6分） ①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0， 所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分） ②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0， 所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分） （ III）在[1，e]上存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，即 在[1，e]上存在一点x，使得h（x）＜0， 即函数在[1，e]上的最小值小于零．（9分） 由（Ⅱ）可知 ①即1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递减， 所以h（x）的最小值为h（e）， 由可得， 因为， 所以；（10分） ②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增， 所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；（11分） ③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a）， 因为0＜ln（1+a）＜1， 所以，0＜aln（1+a）＜a 故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2 此时，h（1+a）＜0不成立．（12分） 综上讨论可得所求a的范围是：或a＜-2．（13分）