已知点F1（0，-1）和抛物线C1：x2=2py的焦点F关于x轴对称，点M是以点...

（1）抛物线C1：x2=2py的焦点F的坐标为F（0，1），则，所以抛物线C1的方程为x2=4y，由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，而线段MF1的垂直平分线与线段MF交于点P，则|MP|=|PF1|因此，|PF1|+|PF|=4，且4＞|FF1|=2，由此能求出曲线C2的方程． （2）若直线l的斜率不存在，则直线，与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，若l与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，由此能求出存在四条直线，y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点． 【解析】 （1）依题意，抛物线C1：x2=2py的焦点F的坐标为F（0，1）， 则， 所以抛物线C1的方程为x2=4y， 由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4， 而线段MF1的垂直平分线与线段MF交于点P， 则|MP|=|PF1|， 因此，|PF1|+|PF|=4， 且4＞|FF1|=2，则点P的轨迹C2为以F1、F为焦点的椭圆， 设C2的方程为， 则2a=4，且a2-b2=1，解得a2=4，b2=3， 所求曲线C2的方程为 （2）若直线l的斜率不存在， 则直线，与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点， 若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m， 若l与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点， 则及均只有一组解， 由消去y得 x2-4kx-4m=0， 则△=16k2+16m=0① 由消去y得 （4+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0， 则△=36k2m2-4（3m2-12）（3k2+4）=0， 即m2-3k2-4=0② 由①②得m=-4，k=±2， 即存在直线y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点， 综上：存在四条直线，y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点．