已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若...

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足 manfen5.com 满分网

，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，说明函数f（x）与g（x）有共同的零点，即g（x）的零点也在函数f（x）的图象上，代入易求出a值．（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则将直线方程代入抛物线方程后，对应的二次方程有两不等的实数根，再将△OAB的面积函数表示出来，根据函数的性质，易得最值及对应的a值．（3）综合零点的性质和不等式的性质，不难证明当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a 【解析】（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上， ∴a3+a2=0．而a≠0， ∴a=-1 （Ⅱ）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x-a，整理，得ax2+（a-1）x+a=0，① ∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B， ∴△＞0，即△=（a-1）2-4a2=-3a2-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0． ∴-1＜a＜且a≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得， x1•x2=1＞0，．设点o到直线g（x）=x-a的距离为d，则，． ∴S△OAB= =． ∵-1＜a＜且a≠0， ∴当时，S△OAB有最大值，S△OAB无最小值．（Ⅲ）由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）． ∵， ∴a（x-p）（x-q）＞0， ∴当x∈（0，p）时，f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1）， x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0， ∴f（x）-（p-a）＜0， ∴f（x）＜p-a，综上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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