（几何证明选讲选做题）如图，过点D做圆的切线与圆切于B点，作割线交圆于A，C两点...

由已知中点D做圆的切线切B点，作割线交圆于A，C两点，根据弦切角定理可得∠DBC=∠BAC，进而根据∠BDC=∠ADB可得△DBC∽△DAB，结合相似三角形对应边成比例，结合BD=3，AD=4，AB=2，即可求出BC的值． 【解析】 ∵∠BDC=∠ADB，（公用角）， ∵BD是圆切线， ∴∠DBC=∠BAC，（同弧圆周角和弦切角相等）， ∴△DBC∽△DAB， ∴BD：AD=BC：AB， 即3：4=BC：2， ∴BC=． 故答案为：