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已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数). (1)求f(x)的最小值; ...

已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|manfen5.com 满分网}且M∩P≠∅求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫nf(x)dx,是否存在等差数列{an}和首项为f(I)公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式.若不存在,请说明理由.
(1)∵函数f(x)=ex-x,对f(x)求导,令f′(x)=0,得x=0,从而求得函数f(x)的最小值; (2)由M={x|}且M∩P≠∅,得f(x)>ax在区间[,1]有解,即ex-x>ax,可得a<在[,2]上有解,故令g(x)=,x∈[,2],求导得,g′(x)=,利用导数可求得g(x)在[,2]上的最大值为 g(2),从而得a的取值范围; (3)设存在公差为d的等差数列{an}和公比为q(q>0),首项为f(1)的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn,则由sn=∫ONf(x)dx,得sn,由b1=f(1)=e-1,且a1+b1=s1,可得a1,又n≥2时,an+bn=sn-sn-1=en-1(e-1)-n+ 故n=2,3时,有可解得q=e,从而得d=-1,所以求得an,bn;得到满足条件的数列{an},{bn}. 【解析】 (1)∵函数f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1;由f′(x)=0,得x=0,当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减;∴函数f(x)的最小值为f(0)=1. (2)∵M∩P≠∅,∴f(x)>ax在区间[,1]有解,由f(x)>ax,得ex-x>ax,即a<在[,2]上有解; 令g(x)=,x∈[,2],则g′(x)=,∴g(x)在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增; 又g()=2-1,g(2)=-1,且g(2)>g(),∴g(x)的最大值为g(2)=-1,∴a<-1. (3)设存在公差为d的等差数列{an}和公比为q(q>0),首项为f(1)的等比数列{bn}, 使a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn ∵;且b1=f(1)=e-1, ∴;∴a1=-,又n≥2时,an+bn=sn-sn-1=en-1(e-1)-n+; 故n=2,3时,有; ②-①×2得,q2-2q=e2-2e,解得q=e,或q=2-e(舍),故q=e,d=-1; 此时an=-+(n-1)(-1)=-n,; ∴存在满足条件的数列{an},{bn}满足题意.
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试题属性
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