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设椭圆的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),右准线l交x轴于点A,且. ...

设椭圆manfen5.com 满分网的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),右准线l交x轴于点A,且manfen5.com 满分网
(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值.

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(Ⅰ)由焦点坐标可求得c,进而根据求得a,进而求得b,则椭圆方程可得. (Ⅱ)先看当直线DE和直线MN与x轴垂直时,可求得四边形DMEN的面积;进而看直线DE,MN均与x轴不垂直时,设DE的直线方程与椭圆方程联立消去y,设D(x1,y1),E(x2,y2),进而利用韦达定理可得x1x2和x1+x2,进而可表示出|DE|,同理可表示出|MN|进而可表示出四边形的面积,进而根据均值不等式求得四边形的面积的范围,则最大值和最小值可得. 【解析】 (Ⅰ)由题意,,∴A(a2,0), ∵∴F2为AF1的中点 ∴a2=3,b2=2 即椭圆方程为. (Ⅱ)当直线DE与x轴垂直时,|DE|=, 此时,四边形DMEN的面积为. 同理当MN与x轴垂直时,也有四边形DMEN的面积为. 当直线DE,MN均与x轴不垂直时,设DE:y=k(x+1),代入椭圆方程,消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0. 设D(x1,y1),E(x2,y2),则 所以,, 所以,, 同理,|MN|=. 所以,四边形的面积S===, 令,得 因为, 当k=±1时,,且S是以u为自变量的增函数, 所以. 综上可知,.即四边形DMEN面积的最大值为4,最小值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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