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已知数列{an}满足:an=logn+1(n+2)(n∈N+),定义使a1•a2...

已知数列{an}满足:an=logn+1(n+2)(n∈N+),定义使a1•a2•a3…ak为整数的数k(k∈N+)叫做幸运数,则k∈[1,2011]内所有的幸运数的和为   
先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2(k+2);然后根据a1•a2•a3…ak为整数,可得k=2n-2;最后由等比数列前n项和公式解决问题. 【解析】 an=logn+1(n+2)=(n∈N+), ∴a1•a2•a3…ak=••…=log2(k+2) 又∵a1•a2•a3…ak为整数 ∴k+2必须是2的n次幂(n∈N+),即k=2n-2. ∴k∈[1,2011]内所有的幸运数的和 M=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2) =-2×9=2026  (211-2>2011) 故答案为2026.
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