如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1． （1）线段A1B上是否存...

（1）线段A1B上不存在一点P，使得A1B⊥平面PAC．用反证明法进行证明． （2）作出平面角∠BHC，由，知∠HAB=30°，在△ABP中用正弦定理可得BP=． （3）A1B∥平面D1AC，Q是B1D与平面ACD1的交点，△B1D1Q∽△DOQ，由此能求出． 【解析】 （1）线段A1B上不存在一点P，使得A1B⊥平面PAC． 理由如下： 假设线段A1B上是否存在一点P，使得A1B⊥平面PAC． 结AC，则AC⊥A1B． ∵AA1⊥AC， ∴AC⊥面AA1B1B， ∴AC⊥AB，与∠BAC=45°矛盾． ∴线段A1B上不存在一点P，使得A1B⊥平面PAC． （2）∵CB⊥平面ABP，作BN⊥AP，交AH延长线与H，连接CH， 则∠BHC是二面角二面角C-AP-B平面角…（6分） ∵二面角C-AP-B的大小是arctan2， ∴tan∠BHC=，即， ∴∠HAB=30°…（8分） 在△ABP中， ∠PAB=30°，AB=1，∠PBA=45°， ∴∠APB=180°-30°-45°=105°， 由正弦定理，得， ∴ ==． ∴BP=…（10分） （3）∵A1B∥平面D1AC， Q是B1D与平面ACD1的交点，…（12分） △B1D1Q∽△DOQ， ∴…（14分）．