抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2...

（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程． （2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，用点斜式设出直线L的方程，代入抛物线方程化简， 得到根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率 k的值． （3）假设存在实数m，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，则|PF1|=2m+1， |PF2|=2m-1，把代入椭圆方程求出m值． 【解析】 （1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率，c=1， 故 a=2，b=，故所求的椭圆方程为  ． （2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2）， 代入抛物线C1：y2=4x 化简得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴，x1x2=4， ∴|A1A2|=•= =6，解得  ． （3）假设存在实数m，△PF1F2的边长是连续自然数，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m， 则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1． 把代入椭圆，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．