设数列{an}是一个无穷数列，记，n∈N*． （1）若{an}是等差数列，证明：...

（1）、根据题中已知条件写出2Tn的表达式，将Tn与2Tn相减便可得出-Tn的表达式，将{an}是等差数列代入-Tn的表达式便可证明对于任意的n∈N*，Tn=0； （2）、根据题中条件先将Tn=0，再将Tn+1=0，然后将两式相减得出an+1、an+2与an+3的关系式，再将T1=0，便可得出a1、a2与a3的关系式，即可证明{an}是等差数列； （3）、存在，根已知条件写出数列bn的公式进而求得Sn，再根据题中的新定义写出ab的形式，取出满足条件的a的取值范围，分别讨论当b为偶数和奇数时是否存在“好和”，便可求出当n=3时存在“好和“． 【解析】 （1）对于任意的正整数n， ∵， 将上面两等式作差得： ∵数列an是等差数列， ∴， ∴Tn=0． （2）∵对于任意的正整数n， ∴ 将上面两等式作差得：an+3-2an+2+an+1=0， 由，即a3-a2=a2-a1， 于是，对一切正整数n都是an+1-2an+1+an+1=0，所以数列{an}是等差数列． （3）由（2）知an是等差数列，其公差是1，所以an=a1+（n-1）=n-1，， 当n≥2时，Sn=3+2+4++2n-1=2n+1，S1=3=2+1， 所以对一切正整数n都有Sn=2n+1． 由ab=2n+1，ab-1=2n，a，b∈N，a＞1，b＞1， ∴a只能是不小于3的奇数． 当b为偶数时，，因为和都是大于1的正整数， 所以存在正整数t，s使得， 2s-2t=2，2t（2s-t-1）=2， ∴2t=2且2s-t-1=1，t=1，s=2，相应的n=3，即有S3=32，S3为好和； 当b为奇数时，ab-1=（a-1）（1+a+a2++ab-1）， 由于1+a+a2++ab-1是b个奇数之和，仍为奇数，又a-1为正偶数， 所以（a-1）（1+a+a2++ab-1）不成立，这时没有好和．