（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[...

（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．
（1）求△ABC外心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=3x+b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求 manfen5.com 满分网

的最大值．并求出此时b的值．

（1）设B点的坐标为（0，y），则C点坐标为（0，y+2）且-3≤y≤1，则由BC边的垂直平分线，AB的垂直平分线即可求的△ABC外心的轨迹方程（2）将y=3x+b代入y2=6x-8得9x2+6（b-1）x+b2+8=0．，由y2=6x-8及-2≤y≤2，得．则问题转化为9x2+6（b-1）x+b2+8=0在区间上有两个实根，结合方程的根的分布可求b的范围，根据弦长公式可得，再由原点到直线l的距离为，，代入结合二次函数的性质可求【解析】（文）（1）设B点的坐标为（0，y），则C点坐标为（0，y+2）（-3≤y≤1），则BC边的垂直平分线为 y=y+1①，AB的垂直平分线为② 由①②消去y，得y2=6x-8． ∵-3≤y≤1， ∴-2≤y=y+1≤2．故所求的△ABC外心的轨迹方程为：y2=6x-8（-2≤y≤2）．（2）将y=3x+b代入y2=6x-8得9x2+6（b-1）x+b2+8=0．由y2=6x-8及-2≤y≤2，得．所以方程①在区间有两个实根．设f（x）=9x2+6（b-1）x+b2+8，则方程③在上有两个不等实根的充要条件是解之得-4≤b≤-3． ∵ ∴由弦长公式，得又原点到直线l的距离为， ∴ ∵-4≤b≤-3，∴． ∴当，即b=-4时，．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等