已知函数f（x）= （1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明...

（1）利用单调函数的定义证明函数的单调性设0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＞0，得到f（x）在（0，+∞）单调递增． （2）当x≥0时利用分式的性质求值域因为0≤x＜x+2∴，即0≤f（x）＜1； （3）当x=0时，f（x）=kx3，∴x=0为方程的解．当x＞0时，∴，当x＜0时，∴，即得到函数g（x）=，与函数h（x）=图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，可得k的范围． 【解析】 （1）设0＜x1＜x2， f（x1）-f（x2）=＞0， ∴f（x）在（0，+∞）单调递增． （2）当x≥0时，f（x）=， 又， ∴，即0≤f（x）＜1； 当x＜0（x≠-2）时，f（x）=， ∴，由x＜0，得 y＜-1或y＞0． ∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）． （3）当x=0时，f（x）=kx3， ∴x=0为方程的解． 当x＞0时，，∴kx2（x+2）=1，∴， 当x＜0时，，∴kx2（x+2）=-1，∴， 即看函数g（x）= 与函数h（x）=图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象， ∴， ∴k＜．