设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（I...

设椭圆

的离心率

，右焦点到直线

的距离

，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推断出x1x2+y1y2=0，求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据求得AB的坐标值．【解析】（I）由，∴．由右焦点到直线的距离为，得：，解得．所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）-12=0，． ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0， ∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴，整理得7m2=12（k2+1）所以O到直线AB的距离．为定值 ∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由， ∴，即弦AB的长度的最小值是．

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考点分析：

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如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连接PB、PC．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．