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已知函数f(x)=ex-ax,a∈R. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)...

已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,都有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)先求导,结合函数的定义域,对参数a进行讨论,利用导数大于0得函数的单调增区间,导数小于0得函数的单调减区间; (Ⅱ)当x=0时,f(x)=1≥0成立;当x∈(0,+∞)时,f(x)=ex-ax≥0成立,分离参数可得成立.只需要求右边函数的最小值即可,构建函数,求导确定函数的单调区间,从而可得函数的最小值,由此可求参数a的范围 【解析】 (Ⅰ) f(x)的定义域是(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.…2分 (1)当a≤0时,f'(x)>0成立,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);  …3分 (2)当a>0时, 令f'(x)>0,得x>lna,则f(x)的单调增区间是(lna,+∞).…4分 令f'(x)<0,得x<lna,则f(x)的单调减区间是(-∞,lna).…5分 综上所述,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间是(lna,+∞),单调减区间是(-∞,lna)…6分 (Ⅱ)当x=0时,f(x)=1≥0成立,a∈R.…7分 当x∈(0,+∞)时,f(x)=ex-ax≥0成立,即x>0 时,成立. 设,…9分 所以=.…10分 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,1)上为减函数;    …11分 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)在x∈(1,+∞)上为增函数.…12分 则g(x)在x=1处取得最小值,g(1)=e.则a≤e. 综上所述,x∈[0,+∞)时,f(x)≥0成立的a的范围是(-∞,e].…13分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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