在长方形AA1B1B中，AB=2A1=4，C，C1分别是AB，A1B1的中点（如...

（1）取A1B的中点F，连接DF，EF，由三角形中位定理，结合E是CC1的中点，可证得四边形C1EFD是平行四边形，进而C1D∥EF，由线面平行的判定定理得到C1D∥平面A1BE； （Ⅱ）由CC1⊥A1C1，CC1⊥B1C1，可由线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1C1B1．进而由线面垂直的第二判定定理得到BB1⊥平面A1C1B1，则BB1⊥C1D，由等腰三角形三线合一可得C1D⊥A1B1，结合线面垂直的判定定理得到C1D⊥平面AA1B1B，结合（I）中EF∥C1D，可得EF⊥平面AA1B1B，最后由面面垂直的判定定理得到平面A1BE⊥平面AA1B1B （Ⅲ）由已知可证得BC⊥平面A1EC1，即BC为三棱锥C1-A1BE的以△A1EC1为底面时的高，求出高及底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案． 证明：（Ⅰ）取A1B的中点F，连接DF，EF．（1分） 因为D，F分别是A1B1，A1B的中点 所以DF是△A1BB1的中位线．（2分） 所以DF∥BB1∥CC1，且． 又因为E是CC1的中点， 所以． 所以DF∥C1E，且DF=C1E． 所以四边形C1EFD是平行四边形．（3分） 所以C1D∥EF． 又EF⊂平面A1BE，C1D⊄平面A1BE，（4分） 所以C1D∥平面A1BE．（5分） （Ⅱ）因为CC1⊥A1C1，CC1⊥B1C1，且A1C1∩B1C1=C1， 所以CC1⊥平面A1C1B1． 因为BB1∥CC1，所以BB1⊥平面A1C1B1． 因为C1D⊂平面A1C1B1，所以BB1⊥C1D．（6分） 又因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1．（7分） 因为A1B1∩BB1=B1，所以C1D⊥平面AA1B1B．（8分） 由（Ⅰ）知EF∥C1D， 所以EF⊥平面AA1B1B． 又因为EF⊂平面A1BE， 所以平面A1BE⊥平面AA1B1B．（10分） 【解析】 （Ⅲ）由已知，长方形AA1B1B沿CC1对折后AC=BC=2，． 所以AB2=AC2+BC2． 所以BC⊥AC，且BC⊥CC1，AC∩CC1=C． 所以BC⊥平面AA1C1C． 即BC⊥平面A1EC1．（11分） 所以．（12分） 其中． 所以．（13分）