已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数） （Ⅰ）求函数f（x）的单调区...

（I）①求f′（x）②解不等式f′（x）＞0得单增区间③f′（x）＜0得单调递减区间 （II）①f'（1）=0，得a=0  f（x）=x-lnx， ②f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，∴x2-3x+lnx+b=0， ③【0.5，2]上有两根则f（x）两次穿过x轴：g（0.5）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0可解b范围（III）由（I）和（II）可知a=0，x∈[0.5，+∞） f（x）≥f（1），即lnx≤x-1 ∴x＞1时，lnx＜x-1令x=1+得ln（1+）＜， ∴n≥2，加以变形便有所求证明 【解析】 （Ⅰ）由已知由函数f（x）的定义域为x＞-a，， ∵-a＜-a+1， ∴由f'（x）＞0，得x＞-a+1， 由f'（x）＜0，得-a＜x＜-a+1， 所以函数f（x）的减区间为（-a，-a+1），增区间为（-a+1，+∞）．（4分） （II）由题意，得f'（1）=0， ∴a=0．（5分） ∴由（Ⅰ）知f（x）=x-lnx， ∴f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b， ∴x2-3x+lnx+b=0， 设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）， 则g'（x）=2x-3+ 当变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：（6分） ∵方程f（x）+2x=x2+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴，∴， ∴+ln2≤b＜2，即．（8分） （III）由（I）和（II）可知当时，f（x）≥f（1）， 即lnx≤x-1， ∴当x＞1时，lnx＜x-1．（10分） 令（n≥2，n∈N*）， 则． 所以当n≥2，n∈N*时， ， 即， ∴．（12分）